Álgebra Linear Aplicada - Exer. 2 - Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 1 da prova de 14/12/2009)

Sejam $u,v\in\mathbb{R}^n$ tal que $u^Tv\neq 0$. Pede-se:

1. Obtenha todos os autovalores e autovetores de $A=I+uv^T$.
   
2. Calcule $\det (A)$.

Resolução: ("tais que" no enunciado, já que foram anunciados dois vetores.)

Vou fazer uma pequena generalização, cuja demonstração é totalmente análoga (o objetivo é poder usar em outra questão mais tarde): Vamos supor que $A=I+auv^T$, para $a\neq 0$.

1. $Au=(I+auv^T)u=u+a(uv^T)u=u+au(v^Tu)=u+a(v^Tu)u=(1+av^Tu)u$ mostra que $1+au^Tv$ é autovalor de $A$, associado ao autovetor $u$. Repare que este autovalor é diferente de $1$, por hipótese.
   

   Considere, agora, um vetor $w\in\mathbb{R}^n$ ortogonal a $v$, isto é, tal que $v^Tw=0$. $Aw=(I+auv^T)w=w+a(uv^T)w=w+au(v^Tw)=w$. Portanto, $1$ é autovalor de $A$ associado a qualquer autovetor $w\in v^{\bot}$ (complemento ortogonal).
   

   Como $\dim (v^{\bot})=n-1$ e $u\notin v^{\bot}$ (por hipótese), estes são todos os autovalores e autovetores.

2. Pelo item anterior, a matriz $A$ é semelhante à matriz diagonal $$\begin{pmatrix} 1+au^Tv & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1 \end{pmatrix}.$$ Portanto, o determinante de $A$ é o produto dos elementos da diagonal (os autovalores): $\det A=1+au^Tv$.