Álgebra Linear Aplicada - Exer. 3 - Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 3 da prova de 14/12/2009)

Seja $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ uma matriz de posto $n$. Mostre que $\left\|A(A^TA)^{-1}A^T\right\|_2=1$, sendo $\left\|B\right\|_2=\sup_{\left\|x\right\|_2=1}\left\|Bx\right\|_2$.

Resolução: Antes algumas observações:

• Supor que $m\geq n$. Embora seja possível concluir isto pelas informações do enunciado, gosto de explicitar esse tipo de hipótese.
• $A(A^TA)^{-1}A^T\in\mathbb{R}^{m\times m}$.
  
• A norma definida no enunciado é para matrizes de $\mathbb{R}^{m\times m}$.
  
• $A^TA\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é simétrica e definida positiva, e portanto inversível.
  
• Tenho um material impresso, não sei se é o original em que a prova foi aplicada, em que a matriz $A$ pertence a $\mathbb{R}^{n\times n}$. Repare que neste caso a questão é bastante simples.

Usar decomposição em valores singulares (SVD), na forma reduzida: $$A=U\Sigma V^T,$$ onde $U\in\mathbb{R}^{m\times n}$ tem colunas ortonormais, $V\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é uma matriz ortogonal e $\Sigma\in\mathbb{R}^{n\times n}$ é diagonal, com todas as entradas da diagonal positivas (portanto inversível). Segue disto que:

• $A^T=V\Sigma U^T,$
  
• $A^TA=V\Sigma U^TU\Sigma V^T=V\Sigma\Sigma V^T,$
  
• $(A^TA)^{-1}=(V\Sigma\Sigma V^T)^{-1}=(V^T)^{-1}\Sigma^{-1}\Sigma^{-1}V^{-1}=V\Sigma^{-1}\Sigma^{-1}V^T.$

Agora, basta fazer a conta da expressão dentro da norma: $$A(A^TA)^{-1}A^T=(U\Sigma V^T)(V\Sigma^{-1}\Sigma^{-1}V^T)(V\Sigma U^T)$$ $$=U(\Sigma (V^TV)\Sigma^{-1})(\Sigma^{-1}(V^TV)\Sigma) U^T=UU^T.$$

Como $UU^T\in\mathbb{R}^{m\times m}$ é diagonal com as $n$ primeiras entradas da diagonal iguais a $1$ e as restantes iguais a $0$, segue que, para todo $x\in\mathbb{R}^m$,
$$\left\|UU^Tx\right\|_2^2=\sum_{i=1}^{n}{x_i^2}\leq\sum_{i=1}^{m}{x_i^2}=\left\|x\right\|_2^2,$$
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$$\left\|UU^T\right\|_2\leq 1.$$
E como $\left\|UU^Te_1\right\|_2=\left\|e_1\right\|_2=1$, segue a igualdade procurada,
$$\left\|A(A^TA)^{-1}A^T\right\|_2=\left\|UU^T\right\|_2=1.$$