Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 5 da prova de 14/12/2009 [a questão 5 da prova de 30/03/2012 é quase igual])
Seja $v\in\mathbb{R}^n$, $v\neq 0$. Considere a transformação de Householder $P=I-\frac{2}{v^Tv}vv^T$. Mostre que $P$ é inversível.
Resolução:O interessante é que esta questão, apesar de ter o enunciado um pouco diferente, pode ser resolvida da mesma maneira que a primeira questão da mesma prova, que já resolvi em Álgebra Linear Aplicada - Exer. 2 - Qualificação. Mas vou resolver com esta notação, pois a matriz aqui é especial.
Vamos encontrar os autovetores. O vetor $v$ é um belo candidato: $$Pv=(I-\frac{2}{v^Tv}vv^T)v=v-\frac{2}{v^Tv}v(v^Tv)=v-2v=-v.$$ De fato, $v$ é autovetor de $P$ associado ao autovalor $-1$.
Considere $w\in\mathbb{R}^n$ ortogonal a $v$, isto é, tal que $v^Tw=0$. Então $$Pw=(I-\frac{2}{v^Tv}vv^T)w=w-\frac{2}{v^Tv}v(v^Tw)=w.$$
Portanto, $1$ é autovalor de $P$ associado a qualquer autovetor $w\in v^{\bot}$ (complemento ortogonal).
Como $\dim(v^{\bot})=n-1$ e $v\notin v^{\bot}$, segue que $P$ é semelhante à matriz $$\begin{pmatrix} -1 & & & 0 \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ 0 & & & 1 \end{pmatrix}.$$ Portanto, $P$ é inversível.