Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 2 da prova de 25/08/2009)
Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz de posto $1$. Mostre que existem $u,v\in\mathbb{R}^n$ tais que $A=uv^T$.
Resolução:
Por decomposição em valores singulares (SVD), $A$ pode ser escrita da forma $$A=\begin{pmatrix} & | & & | & \\ u_1 & | & \cdots & | & u_n \\ & | & & | & \end{pmatrix}_{n\times n}. \begin{pmatrix} \sigma & & & \\ & 0 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 0 \end{pmatrix}_{n\times n}. \begin{pmatrix} & | & & | & \\ v_1 & | & \cdots & | & v_n \\ & | & & | & \end{pmatrix}_{n\times n}^T.$$ Aplicando a transposta e multiplicando, $$A=\begin{pmatrix} & | & & | & & | & \\ \sigma u_1 & | & 0 & | & \cdots & | & 0 \\ & | & & | & & | & \end{pmatrix}. \begin{pmatrix} & & v_1 & & \\ \hline & & \vdots & & \\ \hline & & v_n & & \end{pmatrix}=\sigma u_1v_1^T.$$ Basta definir $u=\sigma u_1$ e $v=v_1$ para concluir $A=uv^T$.