Álgebra Linear Aplicada - Exer. 12 - Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 1 da prova de 25/08/2009)

Considere $\Omega=\mathbb{R}^n-\{0\}$.

1. Sejam $v\in\Omega$ e $A=vv^T$. Encontre todos os autovalores e autovetores de $A$.
   
2. Sejam $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz simétrica e $q:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ definida por $q(x)=\frac{x^TAx}{x^Tx}$. Sendo $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ os autovalores de $A$, mostre que $$\lambda_1=\min_{x\in\Omega}q(x)\ \ \ \text{e}\ \ \ \lambda_n=\max_{x\in\Omega}q(x).$$

Resolução:

1. Este item é parecido com as questões Exer. 2 - Qualificação e Exer. 4 - Qualificação. $$Av=vv^Tv=v^Tvv=\left\|v\right\|^2v.$$ Portanto, $v$ é autovetor com autovalor associado $\left\|v\right\|^2$.
   

   Considere, agora, um vetor $w\in\mathbb{R}^n$ ortogonal a $v$, isto é, tal que $v^Tw=0$. $$Aw=vv^Tw=0=0w.$$ Portanto, $0$ é autovalor de $A$ associado a qualquer autovetor $w\in v^{\bot}$ (complemento ortogonal).
   

   Como $\dim (v^{\bot})=n-1$ e $v\notin v^{\bot}$, estes são todos os autovalores e autovetores de $A$.

   
   
2. A função $q$ é chamada de quociente de Rayleigh. Observe que ela transforma todo autovetor $v$ em seu autovalor $\lambda$ associado: $$q(v)=\frac{v^TAv}{v^Tv}=\frac{v^T\lambda v}{v^Tv}=\lambda.$$ Isto mostra que os autovalores $\lambda_1$ e $\lambda_n$ do enunciado são atingidos pela função $q$, fato que será usado para concluir a igualdade pedida no exercício.
   

   O próximo argumento já foi usado em Exer. 10 - Qualificação.
   

   Como $A$ é simétrica, podemos usar o teorema espectral: existe uma matriz ortogonal $P$ tal que $A=PDP^T$ (lembrando que $P^T=P^{-1}$), onde $D$ é diagonal (com os autovalores $\lambda_i$ na diagonal). $$x^TAx=x^TPDP^Tx=(P^Tx)^TDP^Tx=y^TDy,$$ onde $y=P^Tx$. Como $P^T$ é não singular, se $x\neq 0$ então $y\neq 0$. $$x^TAx=y^TDy=\sum_{i=1}^n{\lambda_iy_i^2}\leq\lambda_n\sum_{i=1}^n{y_i^2}=\lambda_ny^Ty,\ \forall x\in\Omega.$$ Mas $y^Ty=x^TPP^Tx=x^Tx$, o que implica que $$q(x)=\frac{x^TAx}{x^Tx}\leq \lambda_n,\ \forall x\in\Omega.$$ Como $\lambda_n$ é atingido pela função $q$, segue que $$\lambda_n=\max_{x\in\Omega}q(x).$$

   A demonstração da outra igualdade é análoga.