Álgebra Linear Aplicada - Exer. 13 - Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 4 da prova de 25/08/2009)

Seja $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$. Sendo $\left\|A\right\|_2=\sup_{\left\|x\right\|_2=1}\left\|Ax\right\|_2$, mostre que $\left\|A\right\|_2$ é o maior valor singular de $A$.

Resolução:

Vamos escrever a matriz $A$ decomposta em valores singulares (SVD): $A=U\Sigma V^T$. Como $U$ e $V$ são ortogonais, $\left\|U\right\|_2=\left\|V\right\|_2=1$ (pois $\left\|U\right\|_2=\sup_{\left\|x\right\|_2=1}\left\|Ux\right\|_2=\sup_{\left\|x\right\|_2=1}\left\|x\right\|_2=1$).


$$\left\|A\right\|_2=\left\|U\Sigma V^T\right\|_2\leq\left\|U\right\|_2\left\|\Sigma\right\|_2 \left\|V^T\right\|_2=\left\|\Sigma\right\|_2,$$ $$\left\|\Sigma\right\|_2=\left\|U^TA V\right\|_2\leq\left\|U^T\right\|_2\left\|A\right\|_2 \left\|V\right\|_2=\left\|A\right\|_2.$$ Portanto, $\left\|A\right\|_2=\left\|\Sigma\right\|_2$.

Vamos calcular a norma de $\Sigma$:

Vamos chamar de $\sigma_1\geq\cdots\geq\sigma_r>0$ todos os valores singulares de $A$ (aqui, $r\leq m$ e $r\leq n$). Seja $x=(x_1,\cdots,x_m)\in\mathbb{R}^m$ tal que $\left\|x\right\|_2=1$, então $$\Sigma x= \begin{pmatrix} \sigma_1 x_1 \\ \vdots \\ \sigma_r x_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Como $\sigma_1$ é o maior valor singular, temos a desigualdade: $$\left\|\Sigma x\right\|_2=\sqrt{\sum_{i=1}^r{\sigma_i^2x_i^2}}\leq\sigma_1\sqrt{\sum_{i=1}^r{x_i^2}}\leq\sigma_1\left\|x\right\|_2=\sigma_1.$$ Esse valor é efetivamente atingido para $x=e_1$: $$\Sigma e_1= \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \left\|\Sigma e_1\right\|_2=\sigma_1.$$

Concluímos que $\left\|\Sigma\right\|_2=\sigma_1=\left\|A\right\|_2$, como queríamos demonstrar.