Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 7 da prova de 25/08/2009)
Mostre que o conjunto das matrizes não singulares é denso em $\mathbb{R}^{n\times n}$, isto é, dados $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ e $\epsilon >0$, existe $B\in\mathbb{R}^{n\times n}$, não singular, tal que $\left\|B-A\right\|_2<\epsilon$. (Sugestão: use decomposição de valor singular.)
Resolução:
Sejam $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ e $\epsilon>0$.
Se $A$ for não singular, use $B=A$ no enunciado e pronto.
Se $A$ for singular, use decomposição em valores singulares (SVD), $A=U\Sigma V^T$, onde $$\Sigma= \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ & \ddots \\ & & \sigma_r \\ & & & 0 \\ & & & &\ddots \\ & & & & & 0 \end{pmatrix}, \ \ \ \text{com}\ \ \sigma_1\geq\cdots\geq\sigma_r>0.$$ Defina $B=U\widetilde{\Sigma} V^T$, com as mesmas matrizes $U$ e $V$ acima e $$\widetilde{\Sigma}= \begin{pmatrix} \sigma_1 \\ & \ddots \\ & & \sigma_r \\ & & & \sigma \\ & & & &\ddots \\ & & & & & \sigma \end{pmatrix}, \ \ \ \text{para}\ \ 0<\sigma<\epsilon.$$ Temos que $B$ é não singular.
Vamos calcular a norma de $B-A$: $$B-A=U\widetilde{\Sigma} V^T-U\Sigma V^T=U(\widetilde{\Sigma}-\Sigma) V^T= U\begin{pmatrix} 0 \\ & \ddots \\ & & 0 \\ & & & \sigma \\ & & & &\ddots \\ & & & & & \sigma \end{pmatrix}V^T.$$ Pelo exercício anterior Exer. 13 - Qualificação (a decomposição em valores singulares desta matriz está 'bagunçada', mas é fácil ver que a resolução do exercício anterior se aplica aqui), concluímos que a norma desta matriz é igual ao seu maior valor singular, ou seja, $$\left\|B-A\right\|_2=\sigma<\epsilon.$$
Portanto, o conjunto das matrizes não singulares é denso em $\mathbb{R}^{n\times n}$.