Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 6 da prova de 25/08/2009)
Seja $v\in\mathbb{R}^n$, $v\neq 0$. Considere a transformação de Householder $P=I-\frac{2}{v^T v}vv^T$.
Resolução:
Ortogonal: $$P^TP=PP=\left(I-\frac{2}{v^T v}vv^T\right)\left(I-\frac{2}{v^T v}vv^T\right)$$ $$=I^2-\frac{2}{v^T v}vv^T-\frac{2}{v^T v}vv^T+\left(\frac{2}{v^T v}\right)^2(vv^T)(vv^T)$$ $$=I-\frac{4}{v^T v}vv^T+\frac{4}{(v^T v)^2}v(v^Tv)v^T$$ $$=I-\frac{4}{v^T v}vv^T+\frac{4}{v^T v}vv^T=I.$$
Sabemos que $\mathbb{R}^n=span(v)\oplus v^\bot$ (soma direta), ou seja, dado qualquer $x\in\mathbb{R}^n$, existe uma decomposição $x=\alpha v+w$, onde $w\in v^\bot$.
Precisamos mostrar que $Px=-\alpha v+w$: $$Px=P(\alpha v+w)=\alpha Pv+Pw$$ $$=\alpha \left(I-\frac{2}{v^T v}vv^T\right)v+\left(I-\frac{2}{v^T v}vv^T\right)w$$ $$=\alpha \left(v-\frac{2}{v^T v}v(v^Tv)\right)+w-\frac{2}{v^T v}v(v^Tw)$$ $$=\alpha(v-2v)+w-\frac{2}{v^T v}v0$$ $$=-\alpha v+w.$$