Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 2 da prova de 14/12/2009 e número 6 da prova de 2010)
Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz não singular. Mostre que se $A$ tem uma decomposição $LU$, então a decomposição é única.
Resolução:
É preciso ter cuidado com este enunciado. Se o objetivo é encontrar duas matrizes triangulares inferior e superior cujo produto seja $A$, não há apenas uma maneira de o fazer. Vamos tornar o enunciado mais preciso e generalizar para o caso $m\times n$:
Seja $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$. Suponha que existem duas decomposições $A=LU$ e $A=\widetilde{L}\widetilde{U}$ tais que: $L$ e $\widetilde{L}$ são matrizes $m\times m$ triangulares inferiores com elementos diagonais iguais a $1$; $U$ e $\widetilde{U}$ são matrizes triangulares superiores com elementos ''diagonais'' não nulos. Então $L=\widetilde{L}$ e $U=\widetilde{U}$.
Agora sim a resolução:
Temos $LU=\widetilde{L}\widetilde{U}$. Como $L$ tem inversa, $$U=(L^{-1}\widetilde{L})\widetilde{U}.$$ A matriz $L^{-1}$ é triangular inferior com elementos diagonais iguais a $1$ (escalone a matriz $L$ até chegar na identidade, repetindo as operações na matriz identidade vê-se que a parte superior da matriz não se altera, incluindo a diagonal), portanto a matriz $R=L^{-1}\widetilde{L}$ também é triangular inferior com elementos diagonais iguais a $1$.
Da igualdade $U=R\widetilde{U}$, segue que $R\widetilde{U}$ deve ser uma matriz triangular superior. Vamos abrir essa conta pra ver como fica: $$R\widetilde{U}=\begin{pmatrix} 1 & \\ r_{21} & 1 \\ r_{31} & r_{32} & 1 \\ r_{41} & r_{42} & r_{43} & 1 \\ \vdots & & & & \ddots \\ r_{m1} & r_{m2} & r_{m3} & \cdots & r_{m(m-1)} & 1 \end{pmatrix}_{m\times m} \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \cdots & u_{1n} \\ & u_{22} & u_{23} & & u_{2n} \\ & & u_{33} & & \vdots \\ & & & \ddots & u_{(n-1)n} \\ & & & & u_{nn} \\ & & & & \\ & & & & \end{pmatrix}_{m\times n}.$$ Da primeira coluna, $$R\widetilde{U}=\begin{pmatrix} u_{11} & \\ r_{21}u_{11} & \\ r_{31}u_{11} & \\ \vdots & & \\ r_{m1}u_{11} & & & & & & & & \end{pmatrix},$$ podemos concluir que $r_{21}=r_{31}=\cdots=r_{m1}=0$, pois $R\widetilde{U}$ deve ser uma matriz triangular superior e, por hipótese, $u_{11}\neq 0$. Vamos para a segunda coluna: $$R\widetilde{U}=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \\ 0 & r_{32}u_{22} \\ \vdots & \vdots & \\ 0 & r_{m2}u_{22} & & & & & & & \end{pmatrix},$$ concluímos que $r_{32}=r_{42}=\cdots=r_{m2}=0$, pois $R\widetilde{U}$ deve ser uma matriz triangular superior e, por hipótese, $u_{22}\neq 0$. Última para tirar a cisma: $$R\widetilde{U}=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \\ 0 & 0 & r_{43}u_{33} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & r_{m3}u_{33} & & & & & & \end{pmatrix},$$ concluímos que $r_{43}=\cdots=r_{m3}=0$, pois $R\widetilde{U}$ deve ser uma matriz triangular superior e $u_{33}\neq 0$. Seguindo este processo até o fim da matriz, concluímos que $R$ é a matriz identidade.
Segue que $U=\widetilde{U}$ e $I=L^{-1}\widetilde{L}$. Multiplicando por $L$ pela esquerda, $L=\widetilde{L}$.