Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 1 da segunda prova de 2012 [e número 2 da prova de 11/08/2010])
Suponha que $p_n(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$ é o polinômio característico de uma matriz não singular $A$. Mostre que a inversa de $A$ tem a forma $A^{-1}=\beta_1I+\beta_2A+\cdots+\beta_nA^{n-1}$, ou seja é um polinômio em $A$ de grau $n-1$ e escreva os coeficientes $\beta_i$, $i=1\cdots n$ a partir dos coeficientes $aj$, $j=1\cdots n$.
Resolução:
Não vejo sentido em colocar índice $n$ na notação do polinômio característico, mas vou usar só para seguir a notação da questão.
Pelo teorema de Cayley-Hamilton, temos $p_n(A)=0$. Então $$A^n+a_1A^{n-1}+\cdots+a_{n-1}A+a_nI=0,$$ $$a_nI=-A^n-a_1A^{n-1}-\cdots-a_{n-1}A,$$ $$a_nI=A(-A^{n-1}-a_1A^{n-2}-\cdots-a_{n-1}I).$$
Por definição de polinômio característico, $p_n(x)=\det(A-xI)$, temos que $$p_n(0)=\det A=a_n,$$ pois $a_n$ é o termo independente de $x$. Como $A$ é não singular, $\det A\neq 0$, portanto $a_n\neq 0$.
Segue que $$I=A(-\frac{1}{a_n}A^{n-1}-\frac{a_1}{a_n}A^{n-2}-\cdots-\frac{a_{n-1}}{a_n}I).$$
Portanto, $$A^{-1}=-\frac{1}{a_n}A^{n-1}-\frac{a_1}{a_n}A^{n-2}-\cdots-\frac{a_{n-1}}{a_n}I.$$
Observação: Isto mostra que a solução do sistema linear $Ax=b$ (aplicando a inversa a ambos os membros desta igualdade) pertence ao espaço gerado pelos vetores $b,Ab,\cdots,A^{n-1}b$.