Álgebra Linear Aplicada - Exer. 7 - Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 2 da segunda prova de 2012)

Para uma matriz $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ dada, existe uma única $B$ chamada de sua inversa generalizada que satisfaz as seguintes quatro condições: $$ABA=A,\ \ \ BAB=B,\ \ \ (AB)^T=AB,\ \ \ (BA)^T=BA.$$ Suponha que $A=U\Sigma V^T$ . Mostre que $B=V\Sigma^\dagger U^T$ é a inversa generalizada de $A$, em que $U$ e $V$ são ortogonais e $$\Sigma=\begin{pmatrix} D & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m\times n}\ \ \ \text{e}\ \ \ \Sigma^\dagger=\begin{pmatrix} D^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times m}.$$

Resolução:Observe que o conceito de matriz inversa generalizada é definido a partir de algumas propriedades válidas para matrizes inversas (no sentido tradicional), a fim de simular este conceito para matrizes não quadradas.

Faltou deixar claro o que é aquela matriz $D$ do enunciado. Se falasse que $A$ está decomposta em valores singulares (SVD), tudo bem. Enfim, vamos supor que $D$ é uma matriz quadrada, diagonal e não singular.

Usaremos os seguintes fatos:

$U^TU=I_m$
$V^TV=I_n$
$\Sigma\Sigma^\dagger=(\Sigma\Sigma^\dagger)^T=\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{m\times m}$
$\Sigma^\dagger\Sigma=(\Sigma^\dagger\Sigma)^T=\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{n\times n}$
$\Sigma\Sigma^\dagger\Sigma=\Sigma$
$\Sigma^\dagger\Sigma\Sigma^\dagger=\Sigma^\dagger$

Vamos verificar as quatro propriedades para $B$ ser inversa generalizada de $A$:

$$ABA=U\Sigma V^T(V\Sigma^\dagger U^T)U\Sigma V^T=U\Sigma\Sigma^\dagger\Sigma V^T=U\Sigma V^T=A$$
$$BAB=V\Sigma^\dagger U^T(U\Sigma V^T)V\Sigma^\dagger U^T=V\Sigma^\dagger\Sigma\Sigma^\dagger U^T=V\Sigma^\dagger U^T=B$$
$$(AB)^T=(U\Sigma V^TV\Sigma^\dagger U^T)^T=(U\Sigma\Sigma^\dagger U^T)^T=(U^T)^T(\Sigma\Sigma^\dagger)^TU^T$$ $$=U\Sigma\Sigma^\dagger U^T=U\Sigma V^TV\Sigma^\dagger U^T=AB$$
$$(BA)^T=(V\Sigma^\dagger U^TU\Sigma V^T)^T=(V\Sigma^\dagger\Sigma V^T)^T=(V^T)^T(\Sigma^\dagger\Sigma)^TV^T$$ $$=V\Sigma^\dagger\Sigma V^T=V\Sigma^\dagger U^TU\Sigma V^T=BA$$

Portanto, $B$ é inversa generalizada de $A$.