Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 3 da segunda prova de 2012)
Seja $A$ uma matriz quadrada. Defina $A_0=A=Q_0R_0$ como sua decomposição $QR$. Então $A_{k+1}=R_kQ_k$, onde $A_k=Q_kR_k$ é a decomposição $QR$ de $A_k$. Mostre que $A_{k+1}$ é similar a $A$.
Resolução: Traduzindo, vamos trocar a palavra similar por semelhante. Vamos supor que $A_k$, $k\in\mathbb{N}$, são definidas indutivamente pelas expressões do enunciado (faltou colocar $\forall k\in\mathbb{N}$). Duas matrizes $X$ e $Y$ são semelhantes se existir uma matriz $P$ não singular tal que $Y=PXP^{-1}$ (ou, equivalentemente, $X=P^{-1}YP$).
Na decomposição $QR$, a matriz $Q$ é ortogonal, portanto $Q^T=Q^{-1}$.
Para $k=0$, $$A_0=Q_0R_0,\ \text{então}\ \ Q^T_0A_0=R_0.$$ Por definição, $$A_1=R_0Q_0,\ \text{e por substituição}\ \ A_1=Q^T_0A_0Q_0.$$ Ou seja, $A_1$ é semelhante a $A_0$.
Para $k$ qualquer, $$A_k=Q_kR_k,\ \text{então}\ \ Q^T_kA_k=R_k.$$ Por definição, $$A_{k+1}=R_kQ_k,\ \text{e por substituição}\ \ A_{k+1}=Q^T_kA_kQ_k.$$ Ou seja, $A_{k+1}$ é semelhante a $A_k$.
Pelos casos menores que $k$ e por transitividade, $A_{k+1}$ é semelhante a $A_0$.
Por indução, $A_0$ é similar a $A_k$, $\forall k\in\mathbb{N}$.
Observação: Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores e autovetores, o processo iterativo descrito neste exercício converge para os autovalores (na diagonal das matrizes triangulares $R_k$) e autovetores (colunas de $Q_k$) da matriz inicial $A$.