Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 3 da primeira prova de 2012)
Sejam $A$ e $B$ matrizes reais de ordem $n$. Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
Resolução: Traduzindo, vamos trocar a palavra similar por semelhante.
Verdadeira. Duas matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores; vamos mostrar que isso não acontece para $A$ e $A+I$.
De fato, se $\lambda$ é autovalor de $A$, $0=\det(A-\lambda I)=\det((A+I)-(\lambda+1)I)$, então $\lambda+1$ é autovalor de $A+I$. Assim, o maior autovalor de $A+I$ não é autovalor de $A$.
No caso em que $A$ não tem autovalor real, considere $\lambda=a+bi$ um autovalor complexo de maior parte real de $A$ (pode não ser único, mas sempre existe). Pelo mesmo argumento acima, conclui-se que $\lambda+1=(a+1)+bi$ é autovalor de $A+I$, mas não é autovalor de $A$.
Verdadeira. Ignorando os erros lógicos do enunciado, se $A$ e $B$ são semelhantes, existe uma matriz $P$ não singular tal que $A=PBP^{-1}$. Como $P$ tem posto máximo (é um isomorfismo, como transformação linear), ela não interfere na dimensão da imagem de $B$. Portanto, $posto(A)=posto(B)$.
Falsa. Considere $$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\ \ \ \ \text{e}\ \ \ \ \ B=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ Segue que $A^2=B^2$, e trivialmente $A^2$ é semelhante a $B^2$. Mas $A$ não é semelhante a $B$, pois $-1$ é autovalor de $A$ mas não de $B$.
(Obs: a implicação contrária é verdadeira.)