Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 5 da prova de 25/08/2009)
Determine as decomposições $LU$ e $QR$ da matriz $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
(Agora vou fazer a decomposição $QR$, a $LU$ foi feita em Álgebra Linear Aplicada - Exer. 17 - Qualificação)
Resolução:
Como é preciso zerar apenas um número por coluna, o melhor método para chegar na decomposição $QR$ é a rotação de Givens. Lembrando que $Q$ deve ser uma matriz ortogonal e $R$ uma matriz triangular superior. Não vou explicar agora como faz a conta, estou supondo que o leitor já conhece o método (talvez eu explique outro dia).
Vamos começar zerando a entrada $_{(2,1)}$ da matriz $A$. Para isso, considere (as entradas $_{(2,1)}$, $_{(1,2)}$, $_{(1,1)}$ e $_{(2,2)}$ são, respectivamente, $s$, $-s$, $c$ e $c$, onde $c=\frac{a_{11}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2}}$ e $s=\frac{a_{21}}{\sqrt{a_{11}^2+a_{21}^2}}$) $$Q_{21}=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\ \ \text{Temos}\ \ Q_{21}^TA= \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Para zerar a entrada $_{(3,2)}$, considere (processo análogo ao anterior) $$Q_{32}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{3} & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \frac{\sqrt{3}}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.\ \ \text{Temos}\ \ Q_{32}^TQ_{21}^TA= \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Agora só falta zerar a entrada $_{(4,3)}$. Considere (processo análogo ao anterior) $$Q_{43}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\ \ \text{Temos}\ \ Q_{43}^TQ_{32}^TQ_{21}^TA= \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
Esta última matriz é triangular superior, portanto é a matriz $R$ procurada. Temos $Q_{43}^TQ_{32}^TQ_{21}^TA=R$. Todas estas matrizes à esquerda de $A$ são ortogonais, então $A=Q_{21}Q_{32}Q_{43}R$. Como $Q=Q_{21}Q_{32}Q_{43}$ também é ortogonal, encontramos a decomposição procurada: $$A=QR.$$ Ou, explicitamente: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & 0 & \frac{2\sqrt{3}}{6} \\ -\frac{3\sqrt{2}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & 0 & \frac{2\sqrt{3}}{6} \\ 0 & \frac{2\sqrt{6}}{6} & 0 & -\frac{2\sqrt{3}}{6} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
Observação:
A decomposição $QR$ neste caso não é única.
Fizemos todos os passos pelo método da rotação de Givens, mas antes da última eliminação é fácil ver que basta permutar as duas últimas linhas da matriz, e isto se faz multiplicando por $$\widetilde{Q}_{43}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.\ \ \text{Temos}\ \ \widetilde{Q}_{43}^TQ_{32}^TQ_{21}^TA= \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Veja que a matriz $R$ não se alterou, apesar da matriz $\widetilde{Q}=Q_{21}Q_{32}\widetilde{Q}_{43}$ ser ligeiramente diferente da matriz $Q$. Neste caso, também temos $$A=\widetilde{Q}R.$$ Ou, explicitamente: $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{3\sqrt{2}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & 0 & -\frac{2\sqrt{3}}{6} \\ -\frac{3\sqrt{2}}{6} & \frac{\sqrt{6}}{6} & 0 & -\frac{2\sqrt{3}}{6} \\ 0 & \frac{2\sqrt{6}}{6} & 0 & \frac{2\sqrt{3}}{6} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} & \frac{\sqrt{6}}{2} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$