Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 4 da prova de 20/03/2003)
Sejam $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ simultaneamente similares à matrizes triangulares superiores, ou seja $S^{-1}AS$ e $S^{-1}BS$ são matrizes triangulares superiores, para alguma matriz $S\in\mathbb{R}^{n\times n}$ não-singular. Mostr que todos os autovalores de $AB-BA$ são zero.
Resolução:
As matrizes triangulares superiores $T_1=S^{-1}AS$ e $T_2=S^{-1}BS$ são tais que $$T_1T_2-T_2T_1=S^{-1}ASS^{-1}BS-S^{-1}BSS^{-1}AS$$ $$=S^{-1}ABS-S^{-1}BAS=S^{-1}(AB-BA)S.$$ Ou seja, $AB-BA$ é semelhante a $T_1T_2-T_2T_1$.
Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores, então vamos calcular os autovalores da matriz triangular superior $T_1T_2-T_2T_1$.
Lembre que os autovalores de matrizes triangulares são exatamente os elementos da diagonal. Mas os elementos da diagonal de $T_1T_2$ são os mesmos que os elementos da diagonal de $T_2T_1$ (fácil verificar). Segue que os elementos da diagonal de $T_1T_2-T_2T_1$ são todos nulos.
Portanto, todos os autovalores de $AB-BA$ são zero.