Álgebra Linear Aplicada - Exer. 21 - Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 3 da prova de 06/04/2009)

Prove ou dê um contra-exemplo para a afirmação:

Se $A,B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ são duas matrizes com $\left\|A\right\|_2\geq\left\|B\right\|_2$ e existem $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ e $x\in\mathbb{R}^n$ tais que$Ax=\lambda x$ e $Bx=\mu x$, então $\lambda>\mu$.

Resolução:

Não sei exatamente qual é o objetivo desta questão, mas tenho certeza que tem algo errado no enunciado. Vamos testar algumas possibilidades:

• Como está o enunciado, a afirmação é trivialmente falsa. Sejam quais forem as matrizes satisfazendo $\left\|A\right\|_2\geq\left\|B\right\|_2$, tome $x=0\in\mathbb{R}^n$. Temos $A0=\lambda 0$ e $B0=\mu 0$ para quaisquer números $\lambda$ e $\mu$, inclusive para $\lambda=1$ e $\mu=2$, o que contradiz a afirmação.
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• Vamos tentar consertar exigindo que $x\neq 0$. Melhorou um pouco, mas não muito: Sejam $A=B=0\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Temos $\left\|A\right\|_2=\left\|B\right\|_2$. As igualdades $0x=\lambda x$ e $0x=\mu x$ implicam que $\lambda=\mu=0$, o que invalida a afirmação.
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• Podemos melhorar trocando $\lambda>\mu$ por $\lambda\geq\mu$, ou ainda, trocando $\left\|A\right\|_2\geq\left\|B\right\|_2$ por $\left\|A\right\|_2>\left\|B\right\|_2$. Para estes casos, considere $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. Tem-se $3=\left\|A\right\|_2>\left\|B\right\|_2=2$, $Ae_2=1 e_2$ e $Be_2=2 e_2$, mas $1=\lambda<\mu=2$. Portanto a afirmação continua falsa.
  

  Obs: O cálculo das normas de $A$ e $B$ é baseado no resultado mostrado aqui.

Não sei você, mas mesmo melhorando a questão não fiquei satisfeito, me parece que não era bem isso que estavam imaginando ao criarem a questão.