Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 1 da prova de 20/03/2003 e número 5 da prova de março de 2013)
Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$. Mostre que se $\left\|A\right\|_p<1$, então $(I-A)$ é não singular e que $$(I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}\ \ \ \text{com}\ \ \ \left\|(I-A)^{-1}\right\|_p\leq\frac{1}{1-\left\|A\right\|_p}.$$
Resolução:
Suponha por absurdo que $I-A$ seja singular. Pensando como transformação linear, é o mesmo que dizer que não é injetiva, ou ainda, que o núcleo de $I-A$ é diferente de $\{0\}$. Ou seja, existe $x\in\mathbb{R}^n$ diferente do vetor nulo tal que $(I-A)x=0$.
Segue que $x=Ax$, logo $\left\|x\right\|_p=\left\|Ax\right\|_p\leq\left\|A\right\|_p\left\|x\right\|_p$. Portanto $\left\|A\right\|_p\geq 1$, o que contradiz a hipótese, então $I-A$ é não singular.
Para mostrar a igualdade, primeiro vamos mostrar que aquela série é convergente:
$$\left\|\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}\right\|_p\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\left\|A^k\right\|_p}\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\left\|A\right\|_p^k},$$
e esta última é convergente porque é uma série geométrica de razão menor que $1$, portanto $\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}$ de fato é convergente, pelo critério da comparação. Segue desta convergência também que $\lim_{k\rightarrow\infty} A^{k+1}=\lim_{k\rightarrow\infty} A^{k}=0\in\mathbb{R}^{n\times n}$.
Agora sim, aplicando limite à igualdade $(I+A+A^2+\cdots+A^k)(I-A)=I-A^{k+1}$, $\forall k\in\mathbb{N}$, segue
$$\left(\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}\right)(I-A)=I,\ \ \
\text{ou seja},\ \ \
(I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}.$$
Para verificar a desigualdade desejada, basta lembrar do resultado do somatório de série geométrica e
$$\left\|(I-A)^{-1}\right\|_p=\left\|\sum_{k=0}^{\infty}{A^k}\right\|_p\leq\sum_{k=0}^{\infty}{\left\|A\right\|_p^k}=\frac{1}{1-\left\|A\right\|_p}.$$