Álgebra Linear Aplicada - Exer. 23 - Qualificação

Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.

Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.

Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.

Exercício: (número 4 da prova de 14/12/2009)

Seja $\left\|.\right\|$ uma norma tal que $\left\|Ax\right\|\leq\left\|A\right\|\left\|x\right\|$ para todo $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ e $x\in\mathbb{R}^n$. Mostre que:

1. O raio espectral $\rho(A)\leq (\left\|A^k\right\|)^{1/k}$.
   
2. Se $\lim_{k\rightarrow\infty}A^k=0$, então $\rho(A)<1$.

Resolução:

1. Seja $x$ o autovetor de $A$ associado ao autovalor $\lambda$ tal que $|\lambda|=\rho(A)=\max{|\lambda_i|}$, onde $\lambda_i$ percorre o conjunto de todos os autovalores de $A$.
   

   Por definição, $\lambda x=Ax$. Por indução, segue que $\lambda^k x=A^kx$, $\forall k\in\mathbb{N}$. Aplicando a norma e usando que $x\neq 0$, $$\left\|\lambda^k x\right\|=\left\|A^kx\right\|,$$ $$|\lambda|^k\left\|x\right\|\leq\left\|A^k\right\|\left\|x\right\|,$$ $$|\lambda|^k\leq\left\|A^k\right\|,$$ $$|\lambda|\leq\left\|A^k\right\|^{1/k},$$ $$\rho(A)\leq (\left\|A^k\right\|)^{1/k},\ \ \ \forall k\in\mathbb{N}.$$

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2. Suponha por absurdo que $\rho(A)\geq 1$. Temos $$1\leq\rho(A)\leq (\left\|A^k\right\|)^{1/k}\leq \left\|A^k\right\|,\ \ \ \forall k\in\mathbb{N}.$$ Mas, da hipótese daquele limite ser igual a zero, dado $\epsilon=1$, deveria existir $k_0\in\mathbb{N}$ tal que $$\left\|A^k\right\|<1,\ \ \ \forall k\geq k_0.$$ Contradição!
   

   Portanto, $\rho(A)<1$.