Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 6 da segunda prova de 2012)
Considere a transformação de Householder generalizada $$P=I-axy^T.$$ Determine o que se pede:
Resolução:
Existe um erro conceitual neste enunciado. Como é pedido condição suficiente (e não exige-se a necessidade) para que se tenha tal propriedade, basta tomar por exemplo $x=0$, e isto é uma condição suficiente.
Bem, vamos tentar fazer as contas para ver se conseguimos descobrir o que está sendo pedido, mas não podemos perder de vista a arbitrariedade do enunciado.
Se $x=0$ ou $y=0$, dá certo, mas este caso não é interessante. Vamos supor que $x$ e $y$ são diferentes de zero. $$\left\|Pu\right\|_2=\left\|u\right\|_2\ \ \Longleftrightarrow\ \ \left\|Pu\right\|_2^2=\left\|u\right\|_2^2\ \ \Longleftrightarrow\ \ (Pu)^T(Pu)=u^Tu\ \ \Longleftrightarrow\ \ u^TP^TPu=u^Tu.$$ Vamos ver quando acontece esta última igualdade: $$u^TP^TPu=u^T(I-ayx^T)(I-axy^T)u=u^Tu-au^Txy^Tu-au^Tyx^Tu+a^2u^Tyx^Txy^Tu,$$ é igual a $u^Tu$ quando $$-au^Txy^Tu-au^Tyx^Tu+a^2u^Tyx^Txy^Tu=0,$$ $$-u^Txy^Tu-u^Tyx^Tu+a\left\|x\right\|^2u^Tyy^Tu=0,$$ $$\left(-u^Tx-x^Tu+a\left\|x\right\|^2u^Ty\right)\left(y^Tu\right)=0,\ \ \forall u\in\mathbb{R}^n.$$ Como $y^Tu$ não é igual a zero para todo $u\in\mathbb{R}^n$, segue que $$-u^Tx-x^Tu+a\left\|x\right\|^2u^Ty=0,$$ $$-2x^Tu+a\left\|x\right\|^2y^Tu=0,$$ $$\left(-2x+a\left\|x\right\|^2y\right)^Tu=0,$$
Devemos ter $$\left\|u\right\|_2e_k=Pu=(I-axy^T)u=u-axy^Tu,$$ $$axy^Tu=u-\left\|u\right\|_2e_k,$$ $$x=\frac{u-\left\|u\right\|_2e_k}{ay^Tu}.$$
Conferindo: $$Pu=u-axy^Tu=u-a\left(\frac{u-\left\|u\right\|_2e_k}{ay^Tu}\right)y^Tu=u-u+\left\|u\right\|_2e_k=\left\|u\right\|_2e_k.$$
Suponha por um instante que a inversa de $P$ tem a forma $P^{-1}=I-bxy^T$. Neste caso, $$I=PP^{-1}=(I-axy^T)(I-bxy^T)=I-axy^T-bxy^T+abxy^Txy^T,$$ $$0=-axy^T-bxy^T+abx(y^Tx)y^T,$$ $$axy^T=b(-xy^T+ay^Txxy^T),$$ $$axy^T=b(ay^Tx-1)xy^T.$$ Como $xy^T$ é uma matriz não nula, uma entrada diferente de zero é suficiente para concluir que $$a=b(ay^Tx-1).$$
Mas, pelo Exer. 2 - Qualificação, sabemos que $P$ possui inversa se, e somente se, $ax^Ty-1\neq 0$. Isto mostra que a nossa suposição (de que a $P^{-1}$ tem aquela forma particular) na verdade engloba todas as matrizes $P=I-axy^T$ que possuem inversa, não estamos particularizando. Enfim, $$b=\frac{a}{ay^Tx-1},$$ ou seja, quando $P$ possui inversa, $$P^{-1}=I-\left(\frac{a}{ay^Tx-1}\right)xy^T.$$