Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 6 da prova de 06/04/2009)
Determine a solução de mínimos quadrados para
$$\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
12 \\
6 \\
18
\end{pmatrix}.$$
Resolução:
Sabemos que $x$ é solução do problema de mínimos quadrados do sistema $Ax=b$ se, e somente se, $x$ é solução do sistema $A^TAx=A^Tb$.
Portanto, basta resolver o sistema
$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
12 \\
6 \\
18
\end{pmatrix}.$$
Efetuando os dois produtos,
$$\begin{pmatrix}
9 & 5 \\
5 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
66 \\
36
\end{pmatrix}.$$
Escalonando,
$$\begin{pmatrix}
9 & 5 \\
0 & \frac{2}{9}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
66 \\
-\frac{6}{9}
\end{pmatrix}.$$
Este é fácil resolver, a solução é
$$x=\begin{pmatrix}
9 \\
-3
\end{pmatrix}.$$