Estou estudando para a prova de qualificação de álgebra linear aplicada do programa de mestrado em matemática aplicada da UFPR e vou divulgar a resolução de algumas questões. Os exercícios são das provas de exames anteriores, disponíveis na página do programa. Fique à vontade para fazer sugestões, correções, críticas, etc.
Veja aqui todos os exercícios resolvidos de Álgebra Linear Aplicada.
Farei cópia fiel do enunciado dos exercícios, não corrigirei erros e imprecisões. Fica por conta dos comentário na resolução.
Exercício: (número 5 da prova de 06/04/2009 e número 6 da prova de março de 2013)
Seja $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ uma matriz simétrica. Mostre que $f(x)=\sqrt{x^TAx}$ define uma norma em
$\mathbb{R}^n$ se e somente se $A$ é definida positiva.
Dica: Fatoração de Cholesky pode ser útil para mostrar a desigualdade triangular.
Resolução: (Vide comentários sobre a questão de 2013 abaixo da resolução.)
A função $f$ define uma norma em $\mathbb{R}^n$ se
i) $f(x)\geq 0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$;
ii) $f(x)=0$ se, e somente se, $x=0$;
iii) $f(\alpha x)=|\alpha|f(x)$, $\forall x\in\mathbb{R}^n$, $\forall \alpha\in\mathbb{R}$;
iv) $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in\mathbb{R}^n$.
A matriz $A$ é positiva definida se $x^TAx>0$, $\forall x\in\mathbb{R}^n-\{0\}$.
($\Rightarrow$) Se $f$ define uma norma, combinando i) e ii) segue imediatamente que $A$ é positiva definida.
($\Leftarrow$) Se $A$ é definida positiva, por definição segue que $f$ cumpre i) e ii). Verificar a terceira, para $x$ e $\alpha$ quaisquer,
$$f(\alpha x)=\sqrt{(\alpha x)^TA(\alpha x)}=\sqrt{\alpha^2}\sqrt{x^TAx}=|\alpha|f(x).$$
E a quarta, por fatoração de Cholesky existe $B$ tal que $A=B^TB$, então
$$f(x)=\sqrt{x^TAx}=\sqrt{x^TB^TBx}=\sqrt{(Bx)^TBx}=\left\|Bx\right\|.$$
Portanto, para quaisquer $x$ e $y$,
$$f(x+y)=\left\|B(x+y)\right\|=\left\|Bx+By\right\|\leq\left\|Bx\right\|+\left\|By\right\|=f(x)+f(y).$$
Como queríamos demonstrar.
Comentários sobre a questão de 2013. Neste ano a questão foi enunciada assim:
Prove que $f(x)=x^TAx$ é uma norma de vetor se e somente se $A$ é simétrica e positiva definida.
Faltou dizer quem é $A$, é necessário dizer que é uma matriz em $\mathbb{R}^{n\times n}$.
Faltou a raiz quadrada na definição de $f$. Sem isso falham os itens iii e iv demonstrados acima.
A hipótese de simetria de $A$ está colocada apenas de um lado da "equivalência", o que invalida o resultado. De fato, veja o seguinte contra-exemplo: $$\sqrt{x^TAx}=\sqrt{\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}}=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$$ é uma norma, mas a matrix $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ não é simétrica.